Задачка по математике

[bravchick]

А вот еще замечательная задачка по математике. Скорее всего хорошо известная. Но я почему-то ее в свое олимпиадное детство пропустил:  на листе бумаги поставили кляксу сложной формы, площадь которой меньше 1 кв. см.  Доказать, что можно нарисовать на бумаге сетку из квадратов размером 1х1 см. так, что ни одна вершина сетки не попадет на кляксу. 

Comments

наглядная очевидность

[falcao.livejournal.com]

Я согласен, что оно "неформально", но боюсь, что другой уровень -- это уже учебник по теории меры. При решении олимпиадных задач принято ссылаться на "наглядно очевидные" факты. Доказываться они могут сложно (типа леммы Жордана), но от школьников нереально такое требовать.

Равномерность описанного мной распределения относится к числу "наглядно очевидных" вещей. Фактически, мы "случайно" (и равномерно) выбираем радиус, а потом точку на определённой окружности. Ясно, что она может оказаться "где угодно", причём как бы "с одинаковой вероятностью" -- просто из соображений симметрии. Не может ведь так быть, что в каких-то местах сферы бросаемые точки будут "сгущаться"? При том, что все они изначально "равноправны"?

Формализовать рассуждение можно, задавая "объём" в S²xS¹. Далее должны возникнуть какие-то "скучные" проверки. По-моему, это всё делать так же не нужно, как выписывать формализованное доказательство в ZFC. На "содержательном" уровне тут всё ясно. Ситуаций, подобных парадоксу Бертрана и каких-то ещё трудностей этого рода тут явно не возникает.