![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Интервью с Витей Васильевым о преподавнии математики в школе.
http://www.novayagazeta.ru/data/2009/088/13.html
"в жизнеспособном обществе должны быть представлены самые разные способы мышления, поведения, мотивировок, в том числе — обязательно — обеспечиваемое прежде всего хорошей математикой и физикой умение отличать объективную истину от всего остального. Это умение не должно быть единственным, например, оно лишь частично (но опять-таки на абсолютно необходимую часть) обеспечивает морально-этическое здоровье общества. Однако если это умение совсем «пустить в расход», то общество сходит с ума — воистину превращается в страну дураков — так же надежно (хотя и с другими симптомами), как при потере других важнейших составляющих.
<...>еще в наше время (это в начале 1970-х) чуть не половину времени по математике в старших классах занимало решение все более извращенных тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач с параметром. Что-то, конечно, надо про них понимать и уметь с ними обращаться, но хватило бы и пятой части этого массива задач. Объясняется же эта безумная ситуация тем, что такие уравнения — неисчерпаемый источник экзаменационных задач (как выпускных, так и вступительных), почти не требующий умственных затрат на изобретение все новых вариантов. И вот нерадивость (а то и некомпетентность) составителей задач и перекошенная система экзаменов, как это обычно происходит, последовательно деформировали и само обучение, и учебники, и подготовку учителей.
<...>преподавать высшую математику трудно, для этого надо самому в ней разбираться. Поэтому вместо живой математики сплошь и рядом преподается искусство брать безумное количество интегралов (в школе — решать такое же количество тригонометрических и логарифмических уравнений), закономерно прививающее не только ненависть к математике, но и сомнение в ее осмысленности и применимости к реальному миру."
"в жизнеспособном обществе должны быть представлены самые разные способы мышления, поведения, мотивировок, в том числе — обязательно — обеспечиваемое прежде всего хорошей математикой и физикой умение отличать объективную истину от всего остального. Это умение не должно быть единственным, например, оно лишь частично (но опять-таки на абсолютно необходимую часть) обеспечивает морально-этическое здоровье общества. Однако если это умение совсем «пустить в расход», то общество сходит с ума — воистину превращается в страну дураков — так же надежно (хотя и с другими симптомами), как при потере других важнейших составляющих.
<...>еще в наше время (это в начале 1970-х) чуть не половину времени по математике в старших классах занимало решение все более извращенных тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач с параметром. Что-то, конечно, надо про них понимать и уметь с ними обращаться, но хватило бы и пятой части этого массива задач. Объясняется же эта безумная ситуация тем, что такие уравнения — неисчерпаемый источник экзаменационных задач (как выпускных, так и вступительных), почти не требующий умственных затрат на изобретение все новых вариантов. И вот нерадивость (а то и некомпетентность) составителей задач и перекошенная система экзаменов, как это обычно происходит, последовательно деформировали и само обучение, и учебники, и подготовку учителей.
<...>преподавать высшую математику трудно, для этого надо самому в ней разбираться. Поэтому вместо живой математики сплошь и рядом преподается искусство брать безумное количество интегралов (в школе — решать такое же количество тригонометрических и логарифмических уравнений), закономерно прививающее не только ненависть к математике, но и сомнение в ее осмысленности и применимости к реальному миру."
no subject
А эти русские любители потому и раздражаются, что теория у них слабовата и чувствуют они себя неуверенно. Вот подучат их как следует математике, да потребуют они лучшей теории, глядишь, и найдётся для них талантливый автор. И вот тогда, с новой уверенностью станут скандировать они свой лозунг, и вдохновит их эта уверенность на многие свершения. Именно этот сценарий и "дёрнул" меня, когда я читал интервью.
не знаю -
no subject
Абсолютная уверенность адептов в своей правоте - важный элемент любой агрессивной идеологии, залог её успеха. Если люди неплохо учили математику в школе, у них более высокие требования к уровню и взаимосвязи аргументов. Идеология, способная захватить их сердца, должна включать сравнительно консистентную и продуманную внутреннюю логику. Эта комбинация - хорошо разработанная идеология и сравнительно образованное население, как показывает история, весьма разрушительна. Больше, чем комбинация "взволнованного бормотания" и необразованной толпы - трудно годами удерживать интерес такой толпы.
В интервью говорится о том, как лучшее обучение математике оздоровит общество, научив людей распознавать объективную истину. Мне кажется, что математика не помогает распознавать объективную истину. Она учит логике, и боюсь, что российское общество не обязательно станет здоровее, если научится логике.
Правда, в интервью сказано, что обучение математике - это только один аспект, общество может "сойти с ума" и без других составляющих. Так что у меня нет возражений Виктору Васильеву. Я просто усомнился, правильно ли я понял его слова о математике, но мне уже всё объяснили.
как физик -физику
(Anonymous) 2009-08-17 01:29 pm (UTC)(link)Посему рано или поздно изучающий математику осознает, что логические выводы порождают лишь цепь тавтологий (в лучшем, в худшем - цепь слабеющих тавтологий). т.е. что все логически выведенное из посылок - есть уже в самих посылках. Либо же (если вывели нечто, в посылках не содержащееся), - есть результат ошибочности метода (вывода).
Поэтому если что-то с железной логикой требует от вас стать людоедом - есть все основания присмотреться к посылкам (т.е. аксиомам). И или переосмыслить собственные "аксиомы", либо таки стать людоедом. Вариант - отбросить логику как приводящую к проблеме выбора - проходит по обеим ведомостям.
Re: как физик -физику
Эксперимент в "идеальном мире" - это оксиморон. Математик создаёт у себя в голове идеальную конструкцию. Он может проверить взаимодействие таких конструкций у себя в голове. Например, он может посчитать отношение объёмов октаэдра и тетраэдра. Это - не эксперимент. Он ни с кем не разговаривал. Если у него получилось не четыре, он ошибся. Этот результат получается из (произвольных) евклидовых аксиом и вращения мозгами.
У физика - принципиально другая ситуация. Он померил силу, с которой притягивается к Земле килограмм или на куски какой энергии разваливается свет. Получился результат, который никак не следовал из предыдущего знания или аксиом. Это природа сказала ему - вот такая сила или энергия, теперь можешь формулу написать и константу посчитать. Эта константа - не произвольная, она не может быть получена из аксиом и мозгов, она внешняя. Если хотите, она произвольная, но не для Евклида, а для Господа Бога. Наш мир устроен так. Октаэдр - это совсем не то, что мир - его придумал математик, а не Господь Бог.
Математика принципиально не отличается в этом от, например, ангелологии, системы правил музыкальной композиции или законов абстрактной живописи. Можно придумать сколь угодно сложную иерархию ангелов, идеальную, внутренне непротиворечивую и очень вдохновляющую. Лично я математику больше люблю, чем ангелологию - и как инструмент в моей работе, и как источник вдохновения. Но я не позволяю личным симпатиям затуманить мой взгляд. Математика - продукт человека, физика - нет. Математики спрашивают вопросы у самих себя, физики - у природы.
Если что-то требует от меня стать людоедом, то надо присмотреться и к аксиомам и их источникам, и к дальнейшему логическому построению. Математика поможет мне во второй части, но не в первой. И моя подозрительность к самому такому предложению вовсе не связана со знанием или незнанием математики.
Re: как физик -физику
Вы пишете: "октаэдр придумал математик". Однако это совершенно не так. Как бы ни старались математики, они не смогут "придумать" шестое платоново тело, потому что доказано, что СУЩЕСТВУЕТ лишь пять типов правильных многогранников в трехмерном пространстве: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. (Их вовсе не придумал Платон, как может показаться из названия, правильные многогранники - это наиболее симметричные фигуры с конечным числом вершин. Это их объективное определяющее свойство, никак не связанное с прихотью исследователя-математика.) Это - объективная реальность, нравится она вам или нет. Я даже скажу больше - если можно допустить, что физический мир был создан Богом, то математика неподвластна даже Богам. Ни один Бог не в силах изменить математическую реальность так, чтобы платоновых тел стало шесть.
В математике эксперимент - это не оперирование материальной реальностью, но сбор данных при рассмотрении конкретных примеров (вручную или на компьютере), который предшествует построению гипотезы о строении этих объектов и последующему ее доказательству. И точно так же, как в Вашем примере с физиком, измеряющим силу притяжения, математик не знает результат эксперимента заранее. Например, он обсчитывает какую-нибудь динамическую систему на компьютере. Он может и не догадываться, какая будет качественная картина у этой системы до эксперимента: какое будет поведение у траекторий, какие будут предельные циклы, и т.п. Это ему подскажет вычислительный эксперимент.
Если Вы настолько убеждены, что физическая реальность так сильно отличается от "идеальной" математической реальности, подумайте о явлениях, недоступных непосредственному материальному воздействию: электроны, там, или кварки. Их существование зиждется исключительно на абстрактных теориях, "пощупать" их не представляется возможным. Точно так же - натуральные числа, фигуры и другие математические объекты - мы их постигаем опосредованно, через мышление, но тем не менее мы убеждены, что их свойства имеют объективный характер.
Re: как физик -физику
Но кто ставит этот вопрос? Да тот, кто определяет условия задачи. Аксиомы Евклида для математика - произвольны, с другими аксиомами у октаэдра было бы семь вершин. То, что эти аксиомы так чудесно подобраны, что конструкция из них иногда неплохо приближает реальный физический мир - это факт извне математики.
То, что математик не знает заранее решение сложной проблемы - только внешне похоже на ситуацию физика. Потому что "вопрос" для математика - произвольный. Например, дано трёхмерное пространство и аксиомы Евклида, найти все Платоновы тела. Этот "вопрос" ничем принципиальным не отличается для математика от ситуации с двумерным или четырёхмерным пространством или с заменой какой-то из аксиом, например, о параллельных прямых
(так, если я буду развивать этот пример дальше то непременно сяду в лужу, надо было с яблоками).Электрон - реален, а октаэдр - идеален. Да, оба нельзя попробовать на зуб, но я говорю о совсем другой разнице. Электронный пучок квантуется на электроны именно такой массы и заряда. Это не тавтология и это не следует из ранее принятых аксиом или определений. Это измеренный факт, неожиданность. Мы спросили у природы, и она нам сказала ответ. Вычислительный эксперимент - это не эксперимент, не надо прятаться за сложностью задачи. Два яблока и ещё три - это пять яблок. Но кто сказал, что их два и три, и почему не иначе?
Re: как физик -физику
Но аксиомы Евклида далеко не произвольны; они были специально выбраны для того, чтобы приближённо описать реальный мир. Тем более это относится к аксиомам арифметики.
Точно так же в реальности нет (насколько я понимаю) "масс", "сил" и "зарядов", а физики ввели эти понятия для того, чтобы приближённо описать реальный мир.
Re: как физик -физику
В реальности есть масса и сила, это я Вам, как человек, общавшийся с носорогом, точно говорю. Физики ничего не выдумали.
Если бы гравитационная постоянная была чуть больше, мир выглядел бы совершенно иначе - звёзды бы работали по другому, а толстякам было бы ещё хуже, чем теперь. Если бы отношение масс протона и электрона было бы иным, все молекулы работали бы иначе и всё было бы других цветов. Подумайте, чья это аксиома, что эти числа именно такие. Если Вы и после этого не согласитесь, что между физикой и математикой - принципиальная разница, то я больше не знаю, что сказать :-).
Re: как физик -физику
С этим я согласен, просто я оба эти типа истины называю объективными, а Вы, видимо, нет.
А если бы арифметика была устроена иначе, то... впрочем, мы себе просто не можем представить, как мог бы быть устроен такой мир. Слишком уж объективна реальность арифметики :)
Re: как физик -физику
А вот с чем я не согласен в Ваших словах - это то, что математики изучают следствия из произвольно выбранных систем аксиом. Действительно, видимость этого создается в школе на уроках геометрии, когда школьники начинают изучать геометрию "по Евклиду". И может показаться, что выбери мы эти аксиомы иначе, мы бы получили "другую математику". Это верно лишь отчасти, и вот почему.
Работающий математик не оперирует аксиомами, он оперирует математической реальностью. То есть, для него существуют: натуральные и действительные числа, фигуры, поверхности, пространства, другие объекты, которые хоть и могут быть сведены к базовым понятиям какой-либо системы аксиом, но сведЕние это сложное, не нужное и искусственное. Все математики (кроме, возможно, логиков) работают с объектами математической реальности как с данностью. Вот есть сфера, она просто существует, она не сконструирована из точек (стартуя с одной точки и добавляя по одной) а просто есть: вот она, висит в пространстве и радует глаз. :-) До того, как была создана теория множеств, призванную поставить математику на строгую аксиоматическую основу, другие математики (Эйлер, Абель, Риман и др.) успешно работали с математической реальностью и получали сильные результаты (гипотеза Римана очень важна и не решена до сих пор). То есть: была некая реальность, не базирующаяся ни на каких аксиомах, и люди ее изучали. Они работали с числами, функциями, уравнениями, описывающими реальные процессы. Можно сказать, что математика - это чертежи, по которым построен физический мир (хотя, возможно, не все чертежи были при этом задействованы), и это как раз и придает математическим объектам статус объективного существования.
Re: как физик -физику
Когда я провожу эксперимент, у меня чувство, что я разговариваю с Богом (природой, называйте, как хотите). Это - главное в физике. Я измеряю спектр молекулы и вижу серию пиков на определённых частотах. Эти частоты - открытие, нечто новое, что я узнал у природы. Неважно, что оно микроскопическое и незначительное. Никто не знал, какие это частоты - это возможно приблизительно предсказать, но неточно и безо всякой уверенности - модели слишком сложны. Мой результат говорит мне, как и куда молекула двигается - этот результат настолько прост, что его легко объяснить на пальцах маленькому ребёнку. Но получить этот результат можно только сложным экспериментом, его нельзя получить умозрительно, теоретически.
В математике разговаривают сами с собой. Методологически это похоже, как похожа игра в шахматы с самим собой на игру с реальным противником. Я могу определить понятие натуральных чисел и операций с ними. Наверное, это определение было сделано не на основании буйной и нелепой фантазии, а для моделирования реального мира. То есть, это определение было актом физики, а не математики. Так же делают физики, когда строят математическую модель какого-то эффекта. Чтобы построить таблицу простых чисел, этого достаточно, больше не надо консультироваться с реальным миром. Эта таблица следует из нашего определения. "Эксперимент" тут - это просто развитие модели. Конечно, эта модель - удивительно мощная и плодотворная, на её основании можно открыть много всего полезного. Вы правы, куски этой модели были построены ещё до чёткого её выведения из аксиом.
Да, математики не возвращаются каждый раз к аксиомам, они продолжают развитие модели. Но в этом-то и дело! Физики спрашивают реальный мир "как?" или, хотя бы, "не так ли?", снова и снова, после каждого шажка вперёд. А математики уже и не думают про физический источник своих аксиом, они думают про развитие кусков своей модели, которую Вы именуете математической реальностью.
Вы говорите, что физический мир построен по математическим чертежам. Откуда Вы знаете?! Это мы, экспериментаторы, каждый раз подсказываем математикам, что из их результатов помогает понять эксперимент, а что - дикие фантазии. Вы сами говорите, что "не все чертежи задействованы". Если бы не постоянная корректировка, математика бы ушла так далеко от реальности, что я даже представить себе этого не могу.
Ваша сфера висит и радует глаз, но она не существует. Мыльный пузырь - существует. Сфера - это выдумка, которая помогает понять мыльный пузырь. Если бы не мыльный пузырь, у Вас перед глазами висела бы не сфера, а какая-нибудь кошмарная бутылка Кляйна. Вы утверждаете, что сфера - объективна не из-за мыльного пузыря, а потому что у Вас и у математика из лесов Папуа перед глазами висит одинаковая сфера. Вздор - Вы просто договорились с ним об аксиомах, определениях и методах.
Пожалуйста, не нужно понимать мои слова, как уничижительные. Математика - возможно, величайшее изобретение всех времён. Я - в восторге и благоговении перед ней, хоть и знаю про неё не так много. Иерархия ангелов, алхимия, и, кажется, даже философия оказались менее плодотворными инструментами в познании мира, чем математика. Но не следует путать развитие инструмента и его применение, это - два разных вида деятельности. И пожалуйста, не обижайтесь на мой чуть мессианский тон - мне кажется, что Ваше заявление о чертежах переплюнуть невозможно :-).
Кажется, мы и вправду не спорим. Математика предоставляет физике необходимый инструмент, а физика математике - "статус объективного существования" её объектов. Симбиоз.
Re: как физик -физику
Мне кажется, что в экспериментировании физика и математика отличия практически нет. Вы задаёте вопрос (Вам нравится считать, что Богу, но на самом деле, только Вы один и слышите свой вопрос, если оставаться на материалистических постулатах), и *сами же* на него отвечаете, изучив проявление некоторого явления в эксперименте. Математик тоже ставит вопрос - и не знает ответа. Как например, проблема Ферма, триста лет она манила своей загадкой. Это знание - о математической реальности! - никак не давалось в наши руки. Ваш пример с игрой в шахматы с самим собой - совершенно не похож на то, что мы имеем. Мы НЕ ЗНАЕМ следующий ход противника, потому что мы не знаем, как оно устроено, есть ли решения у данного уравнения или нет. И "увидеть" результат мы можем, лишь построив мощный аппарат из подготовительных результатов и теорий - доказав кучу лемм, предложений, теорем, которые помогут нам сузить круг неизвестного до приемлемых размеров, и пролить свет на некоторые свойства изучаемого объекта. Эти подготовительные результаты и теории аналогичны построению новых инструментов для физиков (например, коллайдеров), которые позволяют проникнуть в изучении данного явления глубже, чем было возможно до этого.
Я согласен, что математики изучают модели. Но свойства этих моделей - неизвестны. Загадки и тайны. Установление истинности тех или иных свойств в математике достигается доказательством. Аналог доказательства в физике, как мне кажется, это построение стройной теории, которая объясняет феномен и согласуется со всем имеющимся на данный момент знанием (другие работающие теории и данные эксперимента). А что предшествует построению теории? Наблюдение и выработка гипотез. Точно так же и в математике - прежде чем создать доказательство, требуется понять специфику явления или объекта - на примерах, или из связи с другими объектами, т.е. наблюдением.
Если я правильно понял, Вам не нравится, что я называю экспериментом по-сути дела, детерминированную процедуру "развития" модели, как в примере с Гауссом, который вычислял свою таблицу простых чисел. И мол, что в физике - вас поджидает *настоящая* тайна, а в математике-де никакой тайны нет. Однако, это не так. Аналогию между вычислением и экспериментом можно усилить, если рассмотреть примеры из химии. Чтобы понять свойства вещества, например, полимера, его полезно нарастить. Одна молекула не проявляет полезных макро-свойств, две тоже, и т.д. Но мы можем запустить процесс и вырастить кристалл, полимер, графен, и т.п. в достаточном количестве, чтобы изучать его макро-свойства (прочность, проводимость и т.д.) Это соответствует построению таблицы простых чисел Гауссом - "молекула за молекулой" до миллиона, по совершенно детерминированной процедуре, пока не накопится достаточно материала для формирования гипотез.
Картина, которая нам открывается при этом, совершенно не была известна заранее (то есть, самые прозорливые могли это предвидеть исходя из своих общего характера мыслительных построений, но большинству все-таки требуются эмпирические данные).
Математики не привязаны к физической реальности, и открывают чертежи всех возможных (и невозможных) в принципе физических миров. А экспериментаторы каждый раз лишь уточняют, по каким из уже известных (или еще не открытых) чертежей построен наш конкретно взятый физический мир.
Математика уже ушла так далеко от физической реальности, что дух захватывает даже у профессионалов. Но это ведь и не страшно. :-) Главное, что открывать тайны по-прежнему интересно. :-)
А насчет сферы и мыльного пузыря... По-моему, сфера гораздо реальней. Где тот пузырь, который лопнул? А был ли мальчик? И даже если он не эфемерный, а долгоживущий, то где начинается пузырь, и где он заканчивается? Жидкость как-то так образовала в воздухе нечто ... сферическое! То есть, чтобы подумать о пузыре, мы должны подумать о сфере! Сфера оказывается квинт-эссенцией пузыря, его идеальной сущностью, тем самым чертежом, по которому природа создала пузырь. :-)
Кстати говоря, если физическая теория уже построена и проверена, она может предсказывать результат и безо всякого эксперимента. :-)
Re: как физик -физику
Ответ на вопрос Ферма занял 300 лет, но был заложен в самом вопросе. Это - ответ совсем в другом смысле, чем в физике. Теперь, глядя назад, Вы понимаете, что ответ мог быть только таким. Мы, глядя на измеренное значение гравитационной константы или отношения масс протона и электрона, не понимаем ничего. Они могли бы оказаться другими. Мы понимаем, насколько сильно изменился бы мир, если бы эти числа изменились хоть на доли процента. Но мы не знаем, почему они такие, а не другие. Их значения не заложены в физике, они внешние. Когда мы их мерим, мы не отвечаем на собственный вопрос, не варимся в собственном соку. Мы не рисуем чертежи, по которым построен реальный мир, мы их читаем.
Математик бы сказал - хорошо, при таких константах мир будет таким, а если они чуть изменятся - вот таким. Физик мерит, какие они на самом деле, раскрывает чертёж, который нарисовал кто-то другой.
"Когда физическая теория построена и проверена", она предсказывает результат эксперимента. Например, механика Ньютона. А потом оказывается, что - не любого эксперимента. И теорию приходится подправлять. Эксперимент - первичен, без него никак нельзя. История с механикой Ньютона повторяется (в мелком масштабе) в исследованиях каждого физика.
Мне кажется, что мы уже вполне поняли друг друга, и всё равно думаем немного по-разному. Я узнал много интересного и, кажется, что-то понял в альтернативной для меня точке зрения - большое спасибо. Мне придётся теперь прекратить этот диалог - это не из-за его направления (хотя оно, кажется, истощается), а из-за того, что я буду более или менее инкоммуникадо две недели. До свидания.
Re: как физик -физику
(Anonymous) 2009-08-18 03:03 pm (UTC)(link)не хотитие - не надь.
только зря вы полагаете идеальный мир - не существующим. Или фиктивным. он вполне предмет нашего мира.
над ним вполне можно экспериментировать.
Чем математики и занимаются.