Интервью с Витей Васильевым о преподавнии математики в школе.

[bravchick]

http://www.novayagazeta.ru/data/2009/088/13.html

"в жизнеспособном обществе должны быть представлены самые разные способы мышления, поведения, мотивировок, в том числе — обязательно — обеспечиваемое прежде всего хорошей математикой и физикой умение отличать объективную истину от всего остального. Это умение не должно быть единственным, например, оно лишь частично (но опять-таки на абсолютно необходимую часть) обеспечивает морально-этическое здоровье общества. Однако если это умение совсем «пустить в расход», то общество сходит с ума — воистину превращается в страну дураков — так же надежно (хотя и с другими симптомами), как при потере других важнейших составляющих.

<...>еще в наше время (это в начале 1970-х) чуть не половину времени по математике в старших классах занимало решение все более извращенных тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач с параметром. Что-то, конечно, надо про них понимать и уметь с ними обращаться, но хватило бы и пятой части этого массива задач. Объясняется же эта безумная ситуация тем, что такие уравнения — неисчерпаемый источник экзаменационных задач (как выпускных, так и вступительных), почти не требующий умственных затрат на изобретение все новых вариантов. И вот нерадивость (а то и некомпетентность) составителей задач и перекошенная система экзаменов, как это обычно происходит, последовательно деформировали и само обучение, и учебники, и подготовку учителей.

<...>преподавать высшую математику трудно, для этого надо самому в ней разбираться. Поэтому вместо живой математики сплошь и рядом преподается искусство брать безумное количество интегралов (в школе — решать такое же количество тригонометрических и логарифмических уравнений), закономерно прививающее не только ненависть к математике, но и сомнение в ее осмысленности и применимости к реальному миру."

Comments

Re: как физик -физику

[i_eron]

Конечно, я не имел в виду, что вот, придумали октаэдр с шестью вершинами, а могли - с семью. Если принять аксиомы, из которых построена геометрия Евклида, то получается, что в трёхмерном пространстве есть пять платоновых тел. Если у Саши было два яблока, а у Маши - три, то вместе у них - пять яблок, а не шесть. Логическая цепочка, решение задачи - в первом случае сложнее, чем во втором (для меня :-)), но принципиально оно похоже. Объективность здесь - в однозначности верного ответа на поставленный вопрос.

Но кто ставит этот вопрос? Да тот, кто определяет условия задачи. Аксиомы Евклида для математика - произвольны, с другими аксиомами у октаэдра было бы семь вершин. То, что эти аксиомы так чудесно подобраны, что конструкция из них иногда неплохо приближает реальный физический мир - это факт извне математики.

То, что математик не знает заранее решение сложной проблемы - только внешне похоже на ситуацию физика. Потому что "вопрос" для математика - произвольный. Например, дано трёхмерное пространство и аксиомы Евклида, найти все Платоновы тела. Этот "вопрос" ничем принципиальным не отличается для математика от ситуации с двумерным или четырёхмерным пространством или с заменой какой-то из аксиом, например, о параллельных прямых (так, если я буду развивать этот пример дальше то непременно сяду в лужу, надо было с яблоками).

Электрон - реален, а октаэдр - идеален. Да, оба нельзя попробовать на зуб, но я говорю о совсем другой разнице. Электронный пучок квантуется на электроны именно такой массы и заряда. Это не тавтология и это не следует из ранее принятых аксиом или определений. Это измеренный факт, неожиданность. Мы спросили у природы, и она нам сказала ответ. Вычислительный эксперимент - это не эксперимент, не надо прятаться за сложностью задачи. Два яблока и ещё три - это пять яблок. Но кто сказал, что их два и три, и почему не иначе?

Re: как физик -физику

[alexey-rom.livejournal.com]

Я согласен, что это разные типы объективной истины.

Но аксиомы Евклида далеко не произвольны; они были специально выбраны для того, чтобы приближённо описать реальный мир. Тем более это относится к аксиомам арифметики.

Точно так же в реальности нет (насколько я понимаю) "масс", "сил" и "зарядов", а физики ввели эти понятия для того, чтобы приближённо описать реальный мир.

Re: как физик -физику

[i_eron]

Евклид, в великой мудрости своей, выбрал аксиомы так, чтобы неплохо описать реальность. В этом он повёл себя, как физик.

В реальности есть масса и сила, это я Вам, как человек, общавшийся с носорогом, точно говорю. Физики ничего не выдумали.

Если бы гравитационная постоянная была чуть больше, мир выглядел бы совершенно иначе - звёзды бы работали по другому, а толстякам было бы ещё хуже, чем теперь. Если бы отношение масс протона и электрона было бы иным, все молекулы работали бы иначе и всё было бы других цветов. Подумайте, чья это аксиома, что эти числа именно такие. Если Вы и после этого не согласитесь, что между физикой и математикой - принципиальная разница, то я больше не знаю, что сказать :-).

Re: как физик -физику

[alexey-rom.livejournal.com]

Если Вы и после этого не согласитесь, что между физикой и математикой - принципиальная разница
С этим я согласен, просто я оба эти типа истины называю объективными, а Вы, видимо, нет.

Если бы гравитационная постоянная была чуть больше, мир выглядел бы совершенно иначе
А если бы арифметика была устроена иначе, то... впрочем, мы себе просто не можем представить, как мог бы быть устроен такой мир. Слишком уж объективна реальность арифметики :)

Re: как физик -физику

[mathreader.livejournal.com]

Мне нравится, что мы с Вами успешно устраняем взаимное непонимание. Я готов согласиться почти со всем, что Вы говорите. В результате наши разногласия лишь терминологические, но суть это мало меняет. Вы разрешаете "экспериментом" называться лишь акту наблюдения за физической реальностью с помощью физического же воздействия. Для меня (и для многих математиков) в эксперименте важнее методология: мы берем простой случай, досконально изучаем его, берем случай посложнее - изучаем и его, и т.д. В результате у нас вырисовывается эмпирическая картина, которую мы хотим объяснить с помощью элегантной теории. (Например, Гаусс на досуге составил таблицу простых чисел до одного миллиона. И потом, анализируя ее, обнаружил и доказал много интересных фактов о числах.) Строим гипотезы, доказываем их, если получается. Если обнаруживается контрпример, то мы его изучаем внимательно (т.е. ставим новый эксперимент) и корректируем нашу гипотезу. Согласитесь, методологически это очень похоже на то, что делает некий физик (в наивном дилетантском понимании :-).

А вот с чем я не согласен в Ваших словах - это то, что математики изучают следствия из произвольно выбранных систем аксиом. Действительно, видимость этого создается в школе на уроках геометрии, когда школьники начинают изучать геометрию "по Евклиду". И может показаться, что выбери мы эти аксиомы иначе, мы бы получили "другую математику". Это верно лишь отчасти, и вот почему.

Работающий математик не оперирует аксиомами, он оперирует математической реальностью. То есть, для него существуют: натуральные и действительные числа, фигуры, поверхности, пространства, другие объекты, которые хоть и могут быть сведены к базовым понятиям какой-либо системы аксиом, но сведЕние это сложное, не нужное и искусственное. Все математики (кроме, возможно, логиков) работают с объектами математической реальности как с данностью. Вот есть сфера, она просто существует, она не сконструирована из точек (стартуя с одной точки и добавляя по одной) а просто есть: вот она, висит в пространстве и радует глаз. :-) До того, как была создана теория множеств, призванную поставить математику на строгую аксиоматическую основу, другие математики (Эйлер, Абель, Риман и др.) успешно работали с математической реальностью и получали сильные результаты (гипотеза Римана очень важна и не решена до сих пор). То есть: была некая реальность, не базирующаяся ни на каких аксиомах, и люди ее изучали. Они работали с числами, функциями, уравнениями, описывающими реальные процессы. Можно сказать, что математика - это чертежи, по которым построен физический мир (хотя, возможно, не все чертежи были при этом задействованы), и это как раз и придает математическим объектам статус объективного существования.

Re: как физик -физику

[i_eron]

Мне тоже нравится. Я даже готов принять на время этого разговора Ваше значение слов "эксперимент" и "эмпирический", хоть меня от такого просто трясёт. Глупо ведь спорить о словах, надо просто понять их значения друг для друга. Я попробую объяснить, почему трясёт.

Когда я провожу эксперимент, у меня чувство, что я разговариваю с Богом (природой, называйте, как хотите). Это - главное в физике. Я измеряю спектр молекулы и вижу серию пиков на определённых частотах. Эти частоты - открытие, нечто новое, что я узнал у природы. Неважно, что оно микроскопическое и незначительное. Никто не знал, какие это частоты - это возможно приблизительно предсказать, но неточно и безо всякой уверенности - модели слишком сложны. Мой результат говорит мне, как и куда молекула двигается - этот результат настолько прост, что его легко объяснить на пальцах маленькому ребёнку. Но получить этот результат можно только сложным экспериментом, его нельзя получить умозрительно, теоретически.

В математике разговаривают сами с собой. Методологически это похоже, как похожа игра в шахматы с самим собой на игру с реальным противником. Я могу определить понятие натуральных чисел и операций с ними. Наверное, это определение было сделано не на основании буйной и нелепой фантазии, а для моделирования реального мира. То есть, это определение было актом физики, а не математики. Так же делают физики, когда строят математическую модель какого-то эффекта. Чтобы построить таблицу простых чисел, этого достаточно, больше не надо консультироваться с реальным миром. Эта таблица следует из нашего определения. "Эксперимент" тут - это просто развитие модели. Конечно, эта модель - удивительно мощная и плодотворная, на её основании можно открыть много всего полезного. Вы правы, куски этой модели были построены ещё до чёткого её выведения из аксиом.

Да, математики не возвращаются каждый раз к аксиомам, они продолжают развитие модели. Но в этом-то и дело! Физики спрашивают реальный мир "как?" или, хотя бы, "не так ли?", снова и снова, после каждого шажка вперёд. А математики уже и не думают про физический источник своих аксиом, они думают про развитие кусков своей модели, которую Вы именуете математической реальностью.

Вы говорите, что физический мир построен по математическим чертежам. Откуда Вы знаете?! Это мы, экспериментаторы, каждый раз подсказываем математикам, что из их результатов помогает понять эксперимент, а что - дикие фантазии. Вы сами говорите, что "не все чертежи задействованы". Если бы не постоянная корректировка, математика бы ушла так далеко от реальности, что я даже представить себе этого не могу.

Ваша сфера висит и радует глаз, но она не существует. Мыльный пузырь - существует. Сфера - это выдумка, которая помогает понять мыльный пузырь. Если бы не мыльный пузырь, у Вас перед глазами висела бы не сфера, а какая-нибудь кошмарная бутылка Кляйна. Вы утверждаете, что сфера - объективна не из-за мыльного пузыря, а потому что у Вас и у математика из лесов Папуа перед глазами висит одинаковая сфера. Вздор - Вы просто договорились с ним об аксиомах, определениях и методах.

Пожалуйста, не нужно понимать мои слова, как уничижительные. Математика - возможно, величайшее изобретение всех времён. Я - в восторге и благоговении перед ней, хоть и знаю про неё не так много. Иерархия ангелов, алхимия, и, кажется, даже философия оказались менее плодотворными инструментами в познании мира, чем математика. Но не следует путать развитие инструмента и его применение, это - два разных вида деятельности. И пожалуйста, не обижайтесь на мой чуть мессианский тон - мне кажется, что Ваше заявление о чертежах переплюнуть невозможно :-).

Кажется, мы и вправду не спорим. Математика предоставляет физике необходимый инструмент, а физика математике - "статус объективного существования" её объектов. Симбиоз.

Re: как физик -физику

[mathreader.livejournal.com]

У меня создается впечатление, что спорить уже как будто не о чем. :-) Хотелось бы только чуть-чуть подкорректировать, что я имею в виду.

Мне кажется, что в экспериментировании физика и математика отличия практически нет. Вы задаёте вопрос (Вам нравится считать, что Богу, но на самом деле, только Вы один и слышите свой вопрос, если оставаться на материалистических постулатах), и *сами же* на него отвечаете, изучив проявление некоторого явления в эксперименте. Математик тоже ставит вопрос - и не знает ответа. Как например, проблема Ферма, триста лет она манила своей загадкой. Это знание - о математической реальности! - никак не давалось в наши руки. Ваш пример с игрой в шахматы с самим собой - совершенно не похож на то, что мы имеем. Мы НЕ ЗНАЕМ следующий ход противника, потому что мы не знаем, как оно устроено, есть ли решения у данного уравнения или нет. И "увидеть" результат мы можем, лишь построив мощный аппарат из подготовительных результатов и теорий - доказав кучу лемм, предложений, теорем, которые помогут нам сузить круг неизвестного до приемлемых размеров, и пролить свет на некоторые свойства изучаемого объекта. Эти подготовительные результаты и теории аналогичны построению новых инструментов для физиков (например, коллайдеров), которые позволяют проникнуть в изучении данного явления глубже, чем было возможно до этого.

Я согласен, что математики изучают модели. Но свойства этих моделей - неизвестны. Загадки и тайны. Установление истинности тех или иных свойств в математике достигается доказательством. Аналог доказательства в физике, как мне кажется, это построение стройной теории, которая объясняет феномен и согласуется со всем имеющимся на данный момент знанием (другие работающие теории и данные эксперимента). А что предшествует построению теории? Наблюдение и выработка гипотез. Точно так же и в математике - прежде чем создать доказательство, требуется понять специфику явления или объекта - на примерах, или из связи с другими объектами, т.е. наблюдением.

Если я правильно понял, Вам не нравится, что я называю экспериментом по-сути дела, детерминированную процедуру "развития" модели, как в примере с Гауссом, который вычислял свою таблицу простых чисел. И мол, что в физике - вас поджидает *настоящая* тайна, а в математике-де никакой тайны нет. Однако, это не так. Аналогию между вычислением и экспериментом можно усилить, если рассмотреть примеры из химии. Чтобы понять свойства вещества, например, полимера, его полезно нарастить. Одна молекула не проявляет полезных макро-свойств, две тоже, и т.д. Но мы можем запустить процесс и вырастить кристалл, полимер, графен, и т.п. в достаточном количестве, чтобы изучать его макро-свойства (прочность, проводимость и т.д.) Это соответствует построению таблицы простых чисел Гауссом - "молекула за молекулой" до миллиона, по совершенно детерминированной процедуре, пока не накопится достаточно материала для формирования гипотез.
Картина, которая нам открывается при этом, совершенно не была известна заранее (то есть, самые прозорливые могли это предвидеть исходя из своих общего характера мыслительных построений, но большинству все-таки требуются эмпирические данные).

Математики не привязаны к физической реальности, и открывают чертежи всех возможных (и невозможных) в принципе физических миров. А экспериментаторы каждый раз лишь уточняют, по каким из уже известных (или еще не открытых) чертежей построен наш конкретно взятый физический мир.

Математика уже ушла так далеко от физической реальности, что дух захватывает даже у профессионалов. Но это ведь и не страшно. :-) Главное, что открывать тайны по-прежнему интересно. :-)

А насчет сферы и мыльного пузыря... По-моему, сфера гораздо реальней. Где тот пузырь, который лопнул? А был ли мальчик? И даже если он не эфемерный, а долгоживущий, то где начинается пузырь, и где он заканчивается? Жидкость как-то так образовала в воздухе нечто ... сферическое! То есть, чтобы подумать о пузыре, мы должны подумать о сфере! Сфера оказывается квинт-эссенцией пузыря, его идеальной сущностью, тем самым чертежом, по которому природа создала пузырь. :-)

Кстати говоря, если физическая теория уже построена и проверена, она может предсказывать результат и безо всякого эксперимента. :-)

Re: как физик -физику

[i_eron]

Вы можете гордо надеяться, что жалкий и эфемерный мыльный пузырь в меру сил пытается повторить идеальную сферу (это что-то романтическое, из Андерсена, может быть). То есть, что математикам удалось раскрыть, как природа создана. Но это - недоказуемо. "На самом деле" :-), идеальная сфера существует только в головах людей, научившихся абстрактному мышлению. Мыльные пузыри были до неё и будут после. Несмотря на бесчисленные успехи математики, самонадеянно думать, что жидкость пытается повторить сферу, что "у неё в голове" - то же, что и у Вас. Идеальная сфера - объект того же сорта, как идеальная иерархия европейских ангелов или индийских богов. Тот факт, что из всех этих выдумок математика оказалась наиболее успешным инструментом описания мира - грандиозно успешным, даёт Вам причину бездоказательно "богохульствовать" о чертежах (извините, но наша тема прямо-таки требует религиозных терминов).

Ответ на вопрос Ферма занял 300 лет, но был заложен в самом вопросе. Это - ответ совсем в другом смысле, чем в физике. Теперь, глядя назад, Вы понимаете, что ответ мог быть только таким. Мы, глядя на измеренное значение гравитационной константы или отношения масс протона и электрона, не понимаем ничего. Они могли бы оказаться другими. Мы понимаем, насколько сильно изменился бы мир, если бы эти числа изменились хоть на доли процента. Но мы не знаем, почему они такие, а не другие. Их значения не заложены в физике, они внешние. Когда мы их мерим, мы не отвечаем на собственный вопрос, не варимся в собственном соку. Мы не рисуем чертежи, по которым построен реальный мир, мы их читаем.

Математик бы сказал - хорошо, при таких константах мир будет таким, а если они чуть изменятся - вот таким. Физик мерит, какие они на самом деле, раскрывает чертёж, который нарисовал кто-то другой.

"Когда физическая теория построена и проверена", она предсказывает результат эксперимента. Например, механика Ньютона. А потом оказывается, что - не любого эксперимента. И теорию приходится подправлять. Эксперимент - первичен, без него никак нельзя. История с механикой Ньютона повторяется (в мелком масштабе) в исследованиях каждого физика.

Мне кажется, что мы уже вполне поняли друг друга, и всё равно думаем немного по-разному. Я узнал много интересного и, кажется, что-то понял в альтернативной для меня точке зрения - большое спасибо. Мне придётся теперь прекратить этот диалог - это не из-за его направления (хотя оно, кажется, истощается), а из-за того, что я буду более или менее инкоммуникадо две недели. До свидания.