Довольно странная статья в NYT о том, что в Гарварде мало женщин в точных науках. Естественно, много место уделено математикам. А главная мысль статьи, мне кажется, что во всем виноват Ларри Саммерс.
Ну просто там объективно очень много материала. Это примерно как я в студенческие годы только начав немного учить алгебраическую геометрию жаловался, что мне не нравится доказательство гипотез Вейля -- слишком сложно. Потому как весь SGA -- это объективно много. С теорией чисел похожая ситуация, только материала ещё в несколько раз больше. У меня, кстати, большие проблемы с "посвящением" в вероятность. Хотя учебником пруд пруди.
Проблемы начинаются задолго до того, как возникает желание изучить работы Нго или Морель. Уж квадратичный-то закон взаимности не требует "очень много материала". При этом для меня первым местом, в котором объяснялось, почему это интересно, была рецензия Х. Эдвардса на три учебника по теории алгебраических чисел. Основная часть рецензии была посвящена тому, чем эти учебники плохи, и почему это все же лучше, чем ничего.
Доказательству гипотез Вейля практически столько же лет, сколько и программе Ленглендса. За прошедшие 40 лет алгебраические геометры написали много учебников и "научно-популярных" статей, разъясняющих свой предмет и его достижения. Для того, чтобы понять основные определения и формулировки основных достижений не требуется черезмерных усилий и чтения всего SGA. К тому же, надо сказать, что у алгебраической геометрии есть легко формулируемые достижения, такие как гипотеза Морделла, например. Ничего подобного в программе Ленглендса нет. Нет усилий по просвещению публики.
я, признаться, не понимаю причин вашего сарказма. Понять утверждение теоремы Ленглендса-Таннелла может каждый, кто знает, что такое (абсолютная) группа Галуа, представление конечной группы и модулярная форма. Мне кажется, что все эти понятия доступны аспирантам не очень большого года обучения. Понять доказательство сложнее, но по моей оценке уровень сложности не выше чем нужно для гипотез Вейля. И что же в этом смешит ваши тапочки?
Понять утверждение или понять обзор Gelbart'a? Утверждение Теоремы 1.3 понять можно (правда, я не заметил там конечной группы), построчно, но даже понимание формулировки - это нечто большее. А вот с перевормулировкой в виде теоремы 2.6 уже хуже. Не говоря уже об всем обзоре, якобы доступным аспирантам (вопрос - каким аспирантам - остается).
повторюсь: уровень сложности доказательства обсуждаемой теоремы сравним с уровнем сложности доказательства гипотез Вейля. Я не знаю сколько времени вам понадобилось, чтобы разобраться с гипотезами Вейля; у меня это заняло значительно больше чем один день. Я думаю, что аспирант, знакомый с теорией чисел в объеме книги Касселса-Фрелиха (это к вопросу об уровне аспирантов), сможет разобраться с обсуждаемым обзором недели за две; понятно что профессору - специалисту по другой науке, понадобится больше времени. Для сравнения - по моим ощущениям для того, чтобы разобраться с наукой Перельмана, скажем по обзору Тао, понадобится как минимум полгода (я, конечно, очень далек от этой науки). Я не совсем понимаю вашу трудность с пониманием теоремы: вроде бы она утверждает, что по одним данным (2-мерному представлению группы Галуа) можно построить другие (модулярную форму в теореме 1.3 и автоморфное представление в теореме 2.6), так что численные инварианты совпадают (во всех 3 случаях эти инварианты - комплекснозначные функции определенные на почти всех (=всех, кроме конечного числа) простых числах). Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма. Наконец, конечная группа - это образ группы Галуа (тот, который должен быть разрешим в предположениях теоремы 1.3).
"Я думаю, что аспирант, знакомый с теорией чисел в объеме книги Касселса-Фрелиха..."
Ну вот это, в типичном случае, и есть аспирант пятого года, специализирующийся по этому предмету. Правда, как выяснилось тут в обсуждении, можно знать Касселса-Фрёлиха и не знать квадратичный закон взаимности, так что вопрос о понимании остается. К тому же, вроде бы в Касселсе-Фрёлихе не обсуждаются автоморфные представления, да и не могли бы обсуждаться.
"Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма."
Если брать теорему Ферма как основную мотивировку, то непонятно, с чем там еще возятся. Вообще-то многие люди (начиная с Гаусса и кончая мной) считали и считают теорему Ферма малоинтересным утверждением, на которое не стоит тратить время.
Понять хочется не зачем это может быть нужно (доказать теорему Ферма), а почему такие формулировки возникают.
Это какая-то демагогическая постановка вопроса. Мотивировку любой достаточно развитой области математики можно понять только изнутри. Вот, например, какая есть мотивировка у геометрической теории групп (почему группы вообще интересны?) Вообще я не знаю ни одного примера а приори интересного математического утверждения -- интерес, по-моему, возникает когда сам про это думать начинаешь.
А Касселса-Фрёлиха нужно до аспирантуры читать (не всего, конечно; всего вообще читать не надо).
Вы, небось, читали англоязычный оригинал. А при переводе на русский, из книжки выкинули диссертацию Тэйта под предлогом того, что диссертация эта содержится в (уже переведенных) "Алгебраических числах" Лэнга.
Мы, кажется, согласились не обсуждать эту тему. У любой хорошей математической теории есть мотивировка. У программы Ленглендса есть более чем удовлетворительная мотивировка. Если она Вас не интересует - а Вас она, очевидно, не интересует, то что ж - Ваше право. Но в таком случае нам просто не о чем говорить в том, что касается математики.
Ну вот это, в типичном случае, и есть аспирант пятого года, специализирующийся по этому предмету.
в отличии от Саши, я не думаю, что в Америке найдется много студентов, которые читали эту книгу до аспирантуры. Однако аспирант, специализирующийся в алгебраической теории чисел и не освоивший этот материал до пятого года, имеет очень маленькие шансы на продолжение карьеры..
К тому же, вроде бы в Касселсе-Фрёлихе не обсуждаются автоморфные представления, да и не могли бы обсуждаться.
это как сказать. Явно их там нет. Однако на ныне принятом языке эта книга посвящена изучению 1-мерных автоморфных представлений.
Если брать теорему Ферма как основную мотивировку, то непонятно, с чем там еще возятся. Вообще-то многие люди (начиная с Гаусса и кончая мной) считали и считают теорему Ферма малоинтересным утверждением, на которое не стоит тратить время.
эта мотивировка конечна надумана, но зато очень доступна. Плод сознания, деформированного преподаванием калькулюса. Но может быть гипотеза Шимуры-Таниямы будет получше?
Понять хочется не зачем это может быть нужно (доказать теорему Ферма), а почему такие формулировки возникают.
насколько я понимаю исходная мотивация программы Ленглендса была такая. Есть две конструкции, производящие L-функции: одна из представлений группы Галуа, другая из автоморфных представлений (ну или модулярных форм). Ленглендс заметил, что в известных случаях эти конструкции дают одни и те же L-функции и предположил что так будет всегда. Все остальное выросло из попытки сделать это утверждение точным и доказать его. Для меня это очень интересная и убедительная мотивация, но конечно же можно сказать, что L-функции никому не нужны и неинтересны. Так что уж лучше мотивировать теоремой Ферма..
Существует классический двухтомник Он уже довольно старый, но более или менее всё что я знаю на эту тему -- это оттуда. Там куча обзорных статей (в том числе написанных Тейтом, Борелем, Пятецким-Шапиро и т.д.) В том числе в статье Тейта объясняется каким образом разного рода классическая теория чисел вписывается в программу Ленглендса.
Кстати, некоторые статьи (включая тэйтовскую, а также статьи Бореля и Бореля-Жаке) были переведены на русский (и опубликованы в СССР) четверть века назад.
Существует огромное количество людей, "посвящение" которых в предмет произошло посредством этой книжки. Мы с Денисом прочитали её в 18-летнем возрасте, когда Бернштейна в Тель-Авиве ещё не было и обсуждать её нам было не с кем (кроме ещё одного чуть более продвинутого студента). Я не знаю лучшего пособия по какой-либо математической науке (такой же степени продвинутости). Кстати, а какое хорошее введение в гипотезы Вейля Вы имели в виду? Я никакого текста, где бы на пальцах объяснялась Делиневская теория весов, не знаю. Мне это, кстати, важно -- нужно что-то такое студенту дать.
Не занимается этим предметом огромное количество людей. Проф. Юра дал линк на упомянутую Вами статью Тейта. Это только подтвердило мое впечатление. Статья предполагает свободное владение алгебраической теорией чисел на весьма высоком уровне. Если Вы владели в 18 лет - я рад за Вас. У меня в 18 лет не было возможности даже узнать, почему все так носятся с квадратичным законом взаимности.
Мне кажется, что Вы смешиваете совершенно разные вещи. Вы говорите о возможности выучить предмет, обладая достаточным запасом предварительных сведений. Это не вызывает сомнений, меня не надо в этом убеждать. Я говорю о возможности понять, в чем состоят достижения предмета, будучи специалистом в совсем другой области математики, но с достаточно широкими интересами.
Я не имел в виду никакого специфического введения. Изложений, подходящих для тех целей, что я имел в виду (предыдущий абзац), более чем достаточно, мне лень искать что-нибудь специальное. Учебник Харстхорна (приложение), статья Каца, статья Манина в Успехах 1965-го года (это, конечно, до Делиня, но дает представление об одной из ключевых идей Гротендика - я уж не говорю о теории схем).
Честно скажу: я не знаю что такое квадратичный закон взаимности и не особенно хочу знать. Я знаю, что он как-то следует из теории полей классов, но как именно я никогда узнать не пытался. Базовую теорию чисел я учил по книжке Касселса-Фрёлиха (русскому её варианту -- он несколько отличается от английского). Начинал меня этому обучать ещё posic -- я тогда был в 8-м классе, а он на 1-м курсе. Но я вряд ли что-то узнал кроме определения р-адических чисел. Потом уже в Израиле мы с Денисом как-то обсуждали Касселса-Фрёлиха между собой и таким образом узнали некий базовый материал. При этом я могу честно признаться, что доказательства теории полей классов я никогда подробно не разбирал (разумного доказательства на мой взгляд нет). Потом Бернштейн нам давал читать письмо Дика Гросса (написанное по его просьбе) с историей вопроса про L-функции и т.д. (это уже после чтения пресловутого двухтомника). Вот более или менее всё что я знаю на эту тему (потом ещё иногда я захаживал на какие-то семинары, которые являлись источником случайных знаний по этому предмету).
Про автоморфные формы по крайней мере есть этот двухтомник, а про пучки, по-моему, ничего такого нет. Всё, что Вы писали это как раз где-то уровень Касселса-Фрёлиха, а никакого популярного изложения уровня Корвалисса (особенно через извращённые пучки, что безусловно есть правильный способ излагать эти вещи) не существует.
"Честно скажу: я не знаю что такое квадратичный закон взаимности и не особенно хочу знать. Я знаю, что он как-то следует из теории полей классов, но как именно я никогда узнать не пытался."
В таком случае Вы совершенно не знаете алгебраической теории чисел, и просто нахватались умных слов.
А разве я говорил, что её знаю? "Программа Ленглендса" мне нравится как самоцель, а её классические источники мне эстетически совершенно не нравятся.
Про извращённые пучки: я проводил параллель между изложением науки про l-адические пучки и автоморфные формы. Извращённые пучки я упомянул в связи с первой темой.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
жаловался, что мне не нравится доказательство гипотез Вейля -- слишком сложно. Потому как весь SGA -- это объективно много.
С теорией чисел похожая ситуация, только материала ещё в несколько раз больше.
У меня, кстати, большие проблемы с "посвящением" в вероятность. Хотя учебником пруд пруди.
no subject
Доказательству гипотез Вейля практически столько же лет, сколько и программе Ленглендса. За прошедшие 40 лет алгебраические геометры написали много учебников и "научно-популярных" статей, разъясняющих свой предмет и его достижения. Для того, чтобы понять основные определения и формулировки основных достижений не требуется черезмерных усилий и чтения всего SGA. К тому же, надо сказать, что у алгебраической геометрии есть легко формулируемые достижения, такие как гипотеза Морделла, например. Ничего подобного в программе Ленглендса нет. Нет усилий по просвещению публики.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
Я думаю, что аспирант, знакомый с теорией чисел в объеме книги Касселса-Фрелиха (это к вопросу об уровне аспирантов), сможет разобраться с обсуждаемым обзором недели за две; понятно что профессору - специалисту по другой науке, понадобится больше времени. Для сравнения - по моим ощущениям для того, чтобы разобраться с наукой Перельмана, скажем по обзору Тао, понадобится как минимум полгода (я, конечно, очень далек от этой науки).
Я не совсем понимаю вашу трудность с пониманием теоремы: вроде бы она утверждает, что по одним данным (2-мерному представлению группы Галуа) можно построить другие (модулярную форму в теореме 1.3 и автоморфное представление в теореме 2.6), так что численные инварианты совпадают (во всех 3 случаях эти инварианты - комплекснозначные функции определенные на почти всех (=всех, кроме конечного числа) простых числах). Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма.
Наконец, конечная группа - это образ группы Галуа (тот, который должен быть разрешим в предположениях теоремы 1.3).
no subject
Ну вот это, в типичном случае, и есть аспирант пятого года, специализирующийся по этому предмету. Правда, как выяснилось тут в обсуждении, можно знать Касселса-Фрёлиха и не знать квадратичный закон взаимности, так что вопрос о понимании остается. К тому же, вроде бы в Касселсе-Фрёлихе не обсуждаются автоморфные представления, да и не могли бы обсуждаться.
"Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма."
Если брать теорему Ферма как основную мотивировку, то непонятно, с чем там еще возятся. Вообще-то многие люди (начиная с Гаусса и кончая мной) считали и считают теорему Ферма малоинтересным утверждением, на которое не стоит тратить время.
Понять хочется не зачем это может быть нужно (доказать теорему Ферма), а почему такие формулировки возникают.
no subject
Вот, например, какая есть мотивировка у геометрической теории групп (почему группы вообще интересны?)
Вообще я не знаю ни одного примера а приори интересного математического утверждения -- интерес, по-моему, возникает когда сам про это думать
начинаешь.
А Касселса-Фрёлиха нужно до аспирантуры читать (не всего, конечно; всего вообще читать не надо).
no subject
no subject
no subject
И совсем непонятно - что уж такого эзотерического в законе взаимности.:) Легко формулируемая, приятная и легко применимая теорема.
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
no subject
в отличии от Саши, я не думаю, что в Америке найдется много студентов, которые читали эту книгу до аспирантуры. Однако аспирант, специализирующийся в алгебраической теории чисел и не освоивший этот материал до пятого года, имеет очень маленькие шансы на продолжение карьеры..
это как сказать. Явно их там нет. Однако на ныне принятом языке эта книга посвящена изучению 1-мерных автоморфных представлений.
эта мотивировка конечна надумана, но зато очень доступна. Плод сознания, деформированного преподаванием калькулюса. Но может быть гипотеза Шимуры-Таниямы будет получше?
насколько я понимаю исходная мотивация программы Ленглендса была такая. Есть две конструкции, производящие L-функции: одна из представлений группы Галуа, другая из автоморфных представлений (ну или модулярных форм). Ленглендс заметил, что в известных случаях эти конструкции дают одни и те же L-функции и предположил что так будет всегда. Все остальное выросло из попытки сделать это утверждение точным и доказать его. Для меня это очень интересная и убедительная мотивация, но конечно же можно сказать, что L-функции никому не нужны и неинтересны. Так что уж лучше мотивировать теоремой Ферма..
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
no subject
Он уже довольно старый, но более или менее всё что я знаю на эту тему -- это оттуда.
Там куча обзорных статей (в том числе написанных Тейтом, Борелем, Пятецким-Шапиро и т.д.)
В том числе в статье Тейта объясняется каким образом разного рода классическая теория чисел
вписывается в программу Ленглендса.
классический двухтомник
http://www.ams.org/online_bks/pspum331/
http://www.ams.org/online_bks/pspum332/ .
В частности, статья Тэйта Number Theoretic Background доступна здесь
http://www.ams.org/online_bks/pspum332/pspum332-ptIII-1.pdf .
Кстати, некоторые статьи (включая тэйтовскую, а также статьи Бореля и Бореля-Жаке) были переведены на русский (и опубликованы в СССР) четверть века назад.
no subject
no subject
Я не знаю лучшего пособия по какой-либо математической науке (такой же степени продвинутости).
Кстати, а какое хорошее введение в гипотезы Вейля Вы имели в виду?
Я никакого текста, где бы на пальцах объяснялась Делиневская теория весов, не знаю. Мне это, кстати, важно -- нужно что-то такое студенту
дать.
no subject
Мне кажется, что Вы смешиваете совершенно разные вещи. Вы говорите о возможности выучить предмет, обладая достаточным запасом предварительных сведений. Это не вызывает сомнений, меня не надо в этом убеждать. Я говорю о возможности понять, в чем состоят достижения предмета, будучи специалистом в совсем другой области математики, но с достаточно широкими интересами.
Я не имел в виду никакого специфического введения. Изложений, подходящих для тех целей, что я имел в виду (предыдущий абзац), более чем достаточно, мне лень искать что-нибудь специальное. Учебник Харстхорна (приложение), статья Каца, статья Манина в Успехах 1965-го года (это, конечно, до Делиня, но дает представление об одной из ключевых идей Гротендика - я уж не говорю о теории схем).
no subject
Я знаю, что он как-то следует из теории полей классов, но как именно я никогда узнать не пытался.
Базовую теорию чисел я учил по книжке Касселса-Фрёлиха (русскому её варианту -- он несколько отличается от английского).
Начинал меня этому обучать ещё posic -- я тогда был в 8-м классе, а он на 1-м курсе. Но я вряд ли что-то узнал кроме определения
р-адических чисел.
Потом уже в Израиле мы с Денисом как-то обсуждали Касселса-Фрёлиха между собой и таким образом узнали некий базовый материал.
При этом я могу честно признаться, что доказательства теории полей классов я никогда подробно не разбирал (разумного доказательства
на мой взгляд нет). Потом Бернштейн нам давал читать письмо Дика Гросса (написанное по его просьбе) с историей вопроса про L-функции
и т.д. (это уже после чтения пресловутого двухтомника).
Вот более или менее всё что я знаю на эту тему (потом ещё иногда я захаживал на какие-то семинары, которые являлись источником
случайных знаний по этому предмету).
Про автоморфные формы по крайней мере есть этот двухтомник, а про пучки, по-моему, ничего такого нет.
Всё, что Вы писали это как раз где-то уровень Касселса-Фрёлиха, а никакого популярного изложения уровня
Корвалисса (особенно через извращённые пучки, что безусловно есть правильный способ излагать эти вещи)
не существует.
no subject
В таком случае Вы совершенно не знаете алгебраической теории чисел, и просто нахватались умных слов.
Причем тут извращенные пучки, извините, не понял.
no subject
Про извращённые пучки: я проводил параллель между изложением науки про l-адические пучки и автоморфные формы.
Извращённые пучки я упомянул в связи с первой темой.
no subject
no subject