(no subject)

[bravchick]

Довольно странная статья в NYT о том, что в Гарварде мало женщин в точных науках. Естественно, много место уделено математикам. А главная мысль статьи, мне кажется, что во всем виноват Ларри Саммерс.

Comments

[sea-hog.livejournal.com]

я, признаться, не понимаю причин вашего сарказма. Понять утверждение теоремы Ленглендса-Таннелла может каждый, кто знает, что такое (абсолютная) группа Галуа, представление конечной группы и модулярная форма. Мне кажется, что все эти понятия доступны аспирантам не очень большого года обучения. Понять доказательство сложнее, но по моей оценке уровень сложности не выше чем нужно для гипотез Вейля. И что же в этом смешит ваши тапочки?

[sowa.livejournal.com]

Понять утверждение или понять обзор Gelbart'a? Утверждение Теоремы 1.3 понять можно (правда, я не заметил там конечной группы), построчно, но даже понимание формулировки - это нечто большее. А вот с перевормулировкой в виде теоремы 2.6 уже хуже. Не говоря уже об всем обзоре, якобы доступным аспирантам (вопрос - каким аспирантам - остается).

[sea-hog.livejournal.com]

повторюсь: уровень сложности доказательства обсуждаемой теоремы сравним с уровнем сложности доказательства гипотез Вейля. Я не знаю сколько времени вам понадобилось, чтобы разобраться с гипотезами Вейля; у меня это заняло значительно больше чем один день.
Я думаю, что аспирант, знакомый с теорией чисел в объеме книги Касселса-Фрелиха (это к вопросу об уровне аспирантов), сможет разобраться с обсуждаемым обзором недели за две; понятно что профессору - специалисту по другой науке, понадобится больше времени. Для сравнения - по моим ощущениям для того, чтобы разобраться с наукой Перельмана, скажем по обзору Тао, понадобится как минимум полгода (я, конечно, очень далек от этой науки).
Я не совсем понимаю вашу трудность с пониманием теоремы: вроде бы она утверждает, что по одним данным (2-мерному представлению группы Галуа) можно построить другие (модулярную форму в теореме 1.3 и автоморфное представление в теореме 2.6), так что численные инварианты совпадают (во всех 3 случаях эти инварианты - комплекснозначные функции определенные на почти всех (=всех, кроме конечного числа) простых числах). Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма.
Наконец, конечная группа - это образ группы Галуа (тот, который должен быть разрешим в предположениях теоремы 1.3).

[sowa.livejournal.com]

"Я думаю, что аспирант, знакомый с теорией чисел в объеме книги Касселса-Фрелиха..."

Ну вот это, в типичном случае, и есть аспирант пятого года, специализирующийся по этому предмету. Правда, как выяснилось тут в обсуждении, можно знать Касселса-Фрёлиха и не знать квадратичный закон взаимности, так что вопрос о понимании остается. К тому же, вроде бы в Касселсе-Фрёлихе не обсуждаются автоморфные представления, да и не могли бы обсуждаться.

"Труднее понять зачем это может быть нужно, но мы вроде бы согласились, что это полезно для теоремы Ферма."

Если брать теорему Ферма как основную мотивировку, то непонятно, с чем там еще возятся. Вообще-то многие люди (начиная с Гаусса и кончая мной) считали и считают теорему Ферма малоинтересным утверждением, на которое не стоит тратить время.

Понять хочется не зачем это может быть нужно (доказать теорему Ферма), а почему такие формулировки возникают.

[sasha-br.livejournal.com]

Это какая-то демагогическая постановка вопроса. Мотивировку любой достаточно развитой области математики можно понять только изнутри.
Вот, например, какая есть мотивировка у геометрической теории групп (почему группы вообще интересны?)
Вообще я не знаю ни одного примера а приори интересного математического утверждения -- интерес, по-моему, возникает когда сам про это думать
начинаешь.

А Касселса-Фрёлиха нужно до аспирантуры читать (не всего, конечно; всего вообще читать не надо).

[prof-yura.livejournal.com]

Вы, небось, читали англоязычный оригинал. А при переводе на русский, из книжки выкинули диссертацию Тэйта под предлогом того, что диссертация эта содержится в (уже переведенных) "Алгебраических числах" Лэнга.

[sowa.livejournal.com]

Мы, кажется, согласились не обсуждать эту тему. У любой хорошей математической теории есть мотивировка. У программы Ленглендса есть более чем удовлетворительная мотивировка. Если она Вас не интересует - а Вас она, очевидно, не интересует, то что ж - Ваше право. Но в таком случае нам просто не о чем говорить в том, что касается математики.

[buddha239.livejournal.com]

А чем плох Касселс-Фрелих?:) Лично у меня он пошел совсем неплохо, когда я перестал бояться когомологий.

И совсем непонятно - что уж такого эзотерического в законе взаимности.:) Легко формулируемая, приятная и легко применимая теорема.

[sowa.livejournal.com]

Толпа алгебраистов пытается убедить меня, что чтение Касселса-Фрёлиха - это подходящий способ убедиться в важности текущих работ по программе Ленглендса для тех, кто занимается другими разделами математики.

В законе взаимности нет ничего эзотерического - если пользоваться каким-нибудь элементарным доказательством. Вопрос состоит в другом - почему эта теорема вообще интересна? И ответ должен быть убедителен для людей, не собирающихся заниматься теорией чисел.

[buddha239.livejournal.com]

Не буду присоединяться к толпе.:) Я очень мало знаю о Ленглендсе. Но вот Касселс-Фрелих мне кажется вполне читаемой книгой. Какие именно его главы, с Вашей точки зрения, малочитаемы и плохо мотивированны?


Что касается закона взаимности: вряд ли я скажу Вам что-то новое; вот Вы даже какую-то специальную статью о мотивации закона взаимности прочитали.:) Я только не понимаю: почему мотивация закона взаимности должна быть обязательно ВНЕ теории чисел? Не то, чтобы такой мотивации не было совсем - но ее не очень много. Однако, многие области математики не так уж мотивированны внешними применениями. Возможно, теория чисел здесь чемпион: исторически как раз она всегда была мотивацией для развития "более простых" областей.:)

[sowa.livejournal.com]

Почти ни одна глава не читаема специалистами в другой области математики. (Я не пытался сейчас все главы просмотреть.) Где там мотивация? Книжка начинается с определения дробных идеалов, без единого слова насчет того, откуда и зачем они взялись.

Мотивация закона взаимности, разумеется, находится внутри теории чисел. Мотивация - это совсем не обязательно нечто внешнее, у меня таких мыслей и близко к голове не было.

[buddha239.livejournal.com]

Что касается закона взаимности - то это первое "нелинейное" утверждение в теории чисел (и весьма симпатичное). Имеет прямое отношение к классификации квадратичных форм. Описывает ветвление квадратичных расширений рациональных чисел. Неужели этого мало? Или Вы считаете, что что-то из перечисленного мной числовики скрывают от специалистов (например) по гармоническому анализу?:)


Касселс-Фрелих, в основном, посвящен теории Галуа локальных и глобальных полей. Соответственно, он может быть интересен тем, кто интересуется теорией полей.

[sowa.livejournal.com]

Nope. Это непонятно. Особенно про ветвление - ну кто из посторонних людей знает, что такое ветвление?

Касселс-Фрелих тут предлагался для совсем другой аудитории.

[buddha239.livejournal.com]

Вы, наверное, знаете, как все нужно мотивировать - но мне не говорите.:) Потому что иначе мне непонятно, почему кв. закон взаимности и Касселс-Фрелих мотивированы плохо, а, скажем, достаточно продвинутый матанализ и обычный учебник по нему мотивированы хорошо.

[sowa.livejournal.com]

Обычный учебник матанализа мотивирован хуже некуда. Но те, кому приходится их читать, не имеют выбора - им надо сдать экзамен. (Я читал в несколько другой ситуации, но тоже не имея выбора - учебник матанализа был единственной математической книгой в нашем бараке на картошке.) А у математика есть выбор - читать К-Ф или потратить время с большей пользой и/или удовольствием.

[buddha239.livejournal.com]

Ну, есть, скажем, гармонический анализ: наверное, большинство математиков не заставляют его сдавать насильно. Вы считаете, что почти любая книга по г.а. (можно взять для примера и другую область, конечно) написана лучше большинства книг по теории чисел? Или же Вы просто знаете хорошие книги по всем интересующим Вас областям математики, кроме теории чисел?

Т.е., Вы считаете, что все теорчисловики - конспирологи по сравнению с прочими математиками; или же просто в других областях опытные люди знают тайные книги, которые нужно читать, а по теории чисел никто таких книг не знает?:)

[sowa.livejournal.com]

По гармоническому анализу есть гораздо больше книг, чем алгебраической теории чисел, так что эта наука гораздо доступнее. Есть, в частности, исключительно хорошие и доступные (например, T. Kёрнера).

"Или же Вы просто знаете хорошие книги по всем интересующим Вас областям математики, кроме теории чисел?"

Касселс-Фрелих - хорошая книжка. Для тех, кто уже решил глубоко вникнуть в предмет и у кого есть много времени и энергии.

"Или же Вы просто знаете хорошие книги по всем интересующим Вас областям математики, кроме теории чисел?"

Я знаю хорошие книжки по теории чисел, но их мало и они не заходят так далеко, как хотелось бы. В предисловии к своей книге А. Вейль писал, что, по его мнению, каждый математик должен знать алгебраическую теорию теорию чисел до теории полей класс включительно, и что он надеется, что его книга поможет достичь этого. Увы, она не помогла, да и не могла. И книги, которая помогла бы в достижении этой цели, насколько я знаю, так и нет.

[sasha-br.livejournal.com]

Так вот именно поэтому Касселса-Фрёлиха, а также ещё много чего, надо изучать ДО того, как человек становится взрослым математиком (когда я его читал, из всех
матемтических областей мне больше всего нравилась классическая механика в изложении книжки Арнольда -- мне тогда хотелось чем-то таким заниматься. А ещё мне комбинаторика
нравилась). Взрослые математики вообще очень редко учат что-то новое (не имея ввиду каких-то практических целей для своих занятий) -- я почти не знаю контрпримеров. Что, разумеется, печально. Но со студентами другая ситуация.

[sowa.livejournal.com]

Вы считате, что учащийся (из-под палки) более расположен читать скучные плохо написанные тексты?

Судя по Вашим комментам, эта метода сработала на Вас стандартным образом: Вы очень рано прочитали плохо мотивированный текст по теории чисел, и теперь ее не любите (или даже сильно не любите - лень искать ссылку).

[sea-hog.livejournal.com]

Ну вот это, в типичном случае, и есть аспирант пятого года, специализирующийся по этому предмету.

в отличии от Саши, я не думаю, что в Америке найдется много студентов, которые читали эту книгу до аспирантуры. Однако аспирант, специализирующийся в алгебраической теории чисел и не освоивший этот материал до пятого года, имеет очень маленькие шансы на продолжение карьеры..

К тому же, вроде бы в Касселсе-Фрёлихе не обсуждаются автоморфные представления, да и не могли бы обсуждаться.

это как сказать. Явно их там нет. Однако на ныне принятом языке эта книга посвящена изучению 1-мерных автоморфных представлений.

Если брать теорему Ферма как основную мотивировку, то непонятно, с чем там еще возятся. Вообще-то многие люди (начиная с Гаусса и кончая мной) считали и считают теорему Ферма малоинтересным утверждением, на которое не стоит тратить время.

эта мотивировка конечна надумана, но зато очень доступна. Плод сознания, деформированного преподаванием калькулюса. Но может быть гипотеза Шимуры-Таниямы будет получше?

Понять хочется не зачем это может быть нужно (доказать теорему Ферма), а почему такие формулировки возникают.

насколько я понимаю исходная мотивация программы Ленглендса была такая. Есть две конструкции, производящие L-функции: одна из представлений группы Галуа, другая из автоморфных представлений (ну или модулярных форм). Ленглендс заметил, что в известных случаях эти конструкции дают одни и те же L-функции и предположил что так будет всегда. Все остальное выросло из попытки сделать это утверждение точным и доказать его. Для меня это очень интересная и убедительная мотивация, но конечно же можно сказать, что L-функции никому не нужны и неинтересны. Так что уж лучше мотивировать теоремой Ферма..

[sowa.livejournal.com]

А теперь попробуйте все это изложить специалисту по, скажем, динамическим системам или гармоническому анализу. :-)

Я тут уже где-то написал, что программы Ленглендса есть очень хорошая мотивировка. Только узнать ее неспециалисту очень трудно. И с переходом от случая числового поля к аналогам доступность мотивировки и ее убедительность падает. (Тут Проф. Юра давал ссылку на хорошую цитату.)

[sasha-br.livejournal.com]

А можно узнать в чём она (мотивировка) по-вашему состоит? Я как-то ума не приложу что Вы имеете в виду.
Особенно с точки зрения специалиста по динамическим системам или гармоническому анализу.

[sowa.livejournal.com]

Нет, тут мало места...

[sasha-br.livejournal.com]

Как у Ферма на полях?

[sowa.livejournal.com]

Пожалуй, даже меньше.