Задачка по математике

[bravchick]

А вот еще замечательная задачка по математике. Скорее всего хорошо известная. Но я почему-то ее в свое олимпиадное детство пропустил:  на листе бумаги поставили кляксу сложной формы, площадь которой меньше 1 кв. см.  Доказать, что можно нарисовать на бумаге сетку из квадратов размером 1х1 см. так, что ни одна вершина сетки не попадет на кляксу. 

Comments

адаптация

[falcao.livejournal.com]

Здесь можно ставить вопрос о том, как обойтись "минимальными средствами". Желательно не привлекать в "явном" виде каких-то заведомо "не школьных" понятий типа "мера" или "группа". (В то же время, в "междусобойчегах" такие слова уместны в целях краткости.)

Есть серия вероятностных задач, которая является почти "школьной" -- по крайней мере, такие вещи изучаются на кружках или факультативах. Речь о том, что называют "геометрической вероятностью", и эти вопросы возникают, когда точку "случайно" бросают в единичный квадрат. Распределение полагается равномерным,и школьнику достаточно знать, что вероятность попадания в часть квадрата равна площади этой части.

Здесь невозможно достичь "академического" уровня "строгости", но он и не требуется, если следовать каким-то вполне сложившимся традициям. Всё дело в том, что сама теория площадей (а также длин) -- она требует определённого "бэкграунда", предополагающего то, что уже построена "строгая" теория действительных чисел, чего в школе никто не делает. Это же самое относится к измерениям длин дуг, величин углов etc. Обычно бывает ясно, какого рода соображения считаются "допустимыми" или "разрешёнными".

Применительно к задаче, о которой идёт речь, я бы задавал вероятностное распределение так: сначала выбираем точку на сфере "случайно", то есть "равномерно". Такая конструкция ведёт к тому, что вероятность попадания точки в "кляксу" равна доли площади этой фигуры от общей площади сферы. Такая конструкция как бы "уже есть": её можно не уточнять, ибо сама формулировка задачи предполагает её имеющейся в наличии.

Выбор точки соответствует тому, куда будет отображаться луч, соединяющий центр куба (который у нас "лежит в стороне"), с центром выделенной грани этого куба. Пока ещё это не задаёт способ вписывания куба, так как куб можно вращать относительно выбранной оси. Далее мы должны будем "случайно" (то есть опять "равномерно") выбрать точку на окружности. А именно, на пересечении сферы с плоскостью "выделенной" грани. В неё мы поместим ту вершину куба, которая у нас предварительно была отмечена на этой грани.

Здесь фактически описано топологическое пространство вписанных в сферу кубов, и на нём задана мера. Пространство это гомеоморфно прямому произведению S²xS¹. Сама по себе конструкция задания меры достаточно простая.

Далее можно просто сослаться на "равномерность" распределений: здесь вполне очевидно, что вероятности не меняются "по модулю" какого угодно перемещения сферы. Что следует из соответствующего факта об исходном распределении и из свойств площадей.

Re: адаптация

[bravchick.livejournal.com]

Мне такое рассуждение кажется слишком неформальным. Непонятно, почему все вершины куба равномерно распределены по сфере. Тем более, что, если попытаться формализовать рассуждение с S^2xS^1, то придется говорить о фактормере, а это трудно сделать на школьном языке.

наглядная очевидность

[falcao.livejournal.com]

Я согласен, что оно "неформально", но боюсь, что другой уровень -- это уже учебник по теории меры. При решении олимпиадных задач принято ссылаться на "наглядно очевидные" факты. Доказываться они могут сложно (типа леммы Жордана), но от школьников нереально такое требовать.

Равномерность описанного мной распределения относится к числу "наглядно очевидных" вещей. Фактически, мы "случайно" (и равномерно) выбираем радиус, а потом точку на определённой окружности. Ясно, что она может оказаться "где угодно", причём как бы "с одинаковой вероятностью" -- просто из соображений симметрии. Не может ведь так быть, что в каких-то местах сферы бросаемые точки будут "сгущаться"? При том, что все они изначально "равноправны"?

Формализовать рассуждение можно, задавая "объём" в S²xS¹. Далее должны возникнуть какие-то "скучные" проверки. По-моему, это всё делать так же не нужно, как выписывать формализованное доказательство в ZFC. На "содержательном" уровне тут всё ясно. Ситуаций, подобных парадоксу Бертрана и каких-то ещё трудностей этого рода тут явно не возникает.