Задачка по математике

[bravchick]

А вот еще замечательная задачка по математике. Скорее всего хорошо известная. Но я почему-то ее в свое олимпиадное детство пропустил:  на листе бумаги поставили кляксу сложной формы, площадь которой меньше 1 кв. см.  Доказать, что можно нарисовать на бумаге сетку из квадратов размером 1х1 см. так, что ни одна вершина сетки не попадет на кляксу. 

Comments

[southwest]

мне кажется, будет верным более сильное утверждение: любую заранее нарисованную сетку из квадратов 1х1 можно будет перенести параллельно (без поворотов) так, что выполнится это условие

[bravchick.livejournal.com]

Ну да, это тоже верно

[southwest]

кстати, не обязательно также иметь кляксу сложной формы, для клякс простой формы это тоже верно :)

более деликатный вариант

[a-shen.livejournal.com]

(тоже известный) - что если в шаре 10% испачкано, то можно вписать куб так, чтобы все вершины были чистыми

Re: более деликатный вариант

[mmazin.livejournal.com]

радиус шара равен стороне куба?

шар, естественно,

[a-shen.livejournal.com]

такой, чтобы его вообще можно было вписать в куб (это однозначно определяет радиус, но не сторона, а половина главной диагонали)

[southwest]

вы хотите сказать куб вписать в шар?

испачкано 10% поверхности куба?

проекция на тор

[falcao.livejournal.com]

А я помню этот тип задач! Была целая серия таких -- включая вписывание куба и прочее.

Мне кажется, что в "школьной" формулировке лучше говорить о том, что лист бумаги забрызгали, и сумма площадей получившихся клякс такая-то. Это у нас в сознании клякса = фигура, а последняя не обязательно связна. А школьник "по умолчанию" может подразумевать это условие, хотя оно здесь не нужно.

Re: более деликатный вариант

[bravchick.livejournal.com]

Не понял. Испачкано 10% поверхности сферы?

от площади сферы

[falcao.livejournal.com]

Имеется в виду, что испачкано 10% площади сферы (можно брать даже 12). Далее надо вписать в эту сферу куб, чтобы все его вершины оказались "чистыми".

да, конечно,

[a-shen.livejournal.com]

прошу прощения, я всех запутал - и шар надо вписывать в сферу (чтобы все его вершины на ней были), а не наоборот, естествено

Re: от площади сферы

[southwest]

а можно и 12.499% !

Re: да, конечно,

[bravchick.livejournal.com]

Да, понятно. Симпатично. Хотя не сильно более деликатно. Просто другая симметрия. Если знать решение первой задачи, то вторая более или менее тривиальна

Re: от площади сферы

[bravchick.livejournal.com]

Но трудно будет место для вершинки искать :)

ну не скажи -

[a-shen.livejournal.com]

как объяснить решение, не упоминая инвариантную меру на SO(3)?

[southwest]

на пальцах, поделить сферу на восьмушки, тремя перпендикулярными плоскостями?

так можно вписать

[a-shen.livejournal.com]

параллелпипед, параллельный осям координат, но не куб

[southwest]

да нет, по-моему хватит группы симметрий куба, зачем вся SO(3)?

[shkrobius.livejournal.com]

А у меня была другая любимая задача про кляксу. Пусть есть клякса и отрезок АВ такой, что он лежит вне кляксы; прямая АВ разбивает кляксу. Используя только линейку, продолжить АВ за кляксой.

[shkrobius.livejournal.com]

...не перечеркивая кляксу, разумеется.

[russhatter.livejournal.com]

Мне кажет, полезно было бы оговорить, что решётку можно только двигать. А то ведь если решетку можно еще и поворачивать, клякса может быть ещё больше; по крайней мере, мне так кажется.

[rus4.livejournal.com]

Предлагаю научно формулировать:
"На торе поставили кляксу, площадь которой меньше площади тора. Докажите, что найдется незапачканная точка."

Re: да, конечно,

[kramian.livejournal.com]

шар надо вписывать в сферу (чтобы все его вершины на ней были)
:)))

Re: ну не скажи -

[kramian.livejournal.com]

Рассмотрим все кубы, у которых по крайней мере одна вершина запачкана. Все вершины таких кубов вместе занимают не больше, чем 8*10 (или 8*12) процентов площади сферы. Значит, исчерпаны не все возможные кубы. Тут нужно понимать, что вершины всех возможных кубов занимают всю сферу, но это ведь очевидно без инвариантных мер?

Re: да, конечно,

[kramian.livejournal.com]

А мне сфера помогла решить про кляксу, иначе я бы, может, и не додумалась. По-моему, про сферу проще. Я эту задачу встречала в школьной жизни (турнир городов?).