bravchick

как объяснить решение, не упоминая инвариантную меру на SO(3)?

From:

southwest

на пальцах, поделить сферу на восьмушки, тремя перпендикулярными плоскостями?

From:

параллелпипед, параллельный осям координат, но не куб

From:

southwest

да нет, по-моему хватит группы симметрий куба, зачем вся SO(3)?

From:

Рассмотрим все кубы, у которых по крайней мере одна вершина запачкана. Все вершины таких кубов вместе занимают не больше, чем 8*10 (или 8*12) процентов площади сферы. Значит, исчерпаны не все возможные кубы. Тут нужно понимать, что вершины всех возможных кубов занимают всю сферу, но это ведь очевидно без инвариантных мер?

From:

"исчерпаны не все возможные кубы", то на кубах есть какая-то мера - но какая??

From:

Ну... мы ведь, собственно, сперва говорим, что не исчерпаны все точки сферы. (Для этого используем, конечно, меру на сфере, площадь.) А дальше есть соответствие между кубами и точками сферы. Оно, конечно, не функция и склеивает точки (то есть кубы :), но нам от него нужно только одно: что у него область значений (если определять его на всех кубах)- вся сфера. Раз какое-то множество кубов отразилось не на всю сферу, значит, это множество не исчерпывает (уже в теоретико-множественном смысле) всех возможных кубов. Так нельзя?

From:

говорим, что исчерпаны не все точки сферы по соображениям меры, то должны быть какие-то 8 множеств на сфере меры 1|10 - но что это за множества могли бы быть? по-моему, так ничего не выйдет

From:

Вы правы. Собственно, мое "решение" было дырявое: когда я написала, что "все вершины таких кубов вместе занимают не больше, чем 8*10 (или 8*12) процентов площади сферы", я наивно имела в виду, что это потому, что у куба 8 вершин. Но куб-то вершиной не определяется, см. ниже коммент falcao.

Но как же школьники должны были решать эту задачу? Подозреваю, что я и тогда сделала ту же ошибку, которую тогда так и не осознала. Или, может, там был параллелепипед...

From:

Это соображение не работает: задание одной вершины не определяет куб однозначно. Его можно вращать как угодно вокруг оси, соединяющей вершину с центром.

From:

Точно, я уж и сама сообразила :( Как раз пришла, чтобы разоблачить собственное "решение", но Вы меня опередили. Значит, нет элементарного решения, доступного школьнику?

From:

Доступное решение, наверное, есть -- задача вроде бы была в "Кванте".

Самое простое известное мне решение основано на вероятностном аргументе: впишем куб "случайно", и оценим вероятность того, что хотя бы одна из вершин запачкана. Тогда вероятность объединения событий, состоящих в том, что i-я вершина запачкана, не превосходит суммы вероятностей. А каждое отдельное событие имеет вероятность меньше 1/8. Отсюда всё следует.

Видимо, можно это соображение как-то "адаптировать", и получится "школьное" решение.

From:

Это красиво, спасибо. Все равно, конечно, все эти инвариантные меры на кубах неявно присутствуют, но они ловко спрятаны в слове "случайно" - а оно интуитивно понятно, если не докапываться.

From:

Здесь можно ставить вопрос о том, как обойтись "минимальными средствами". Желательно не привлекать в "явном" виде каких-то заведомо "не школьных" понятий типа "мера" или "группа". (В то же время, в "междусобойчегах" такие слова уместны в целях краткости.)

Есть серия вероятностных задач, которая является почти "школьной" -- по крайней мере, такие вещи изучаются на кружках или факультативах. Речь о том, что называют "геометрической вероятностью", и эти вопросы возникают, когда точку "случайно" бросают в единичный квадрат. Распределение полагается равномерным,и школьнику достаточно знать, что вероятность попадания в часть квадрата равна площади этой части.

Здесь невозможно достичь "академического" уровня "строгости", но он и не требуется, если следовать каким-то вполне сложившимся традициям. Всё дело в том, что сама теория площадей (а также длин) -- она требует определённого "бэкграунда", предополагающего то, что уже построена "строгая" теория действительных чисел, чего в школе никто не делает. Это же самое относится к измерениям длин дуг, величин углов etc. Обычно бывает ясно, какого рода соображения считаются "допустимыми" или "разрешёнными".

Применительно к задаче, о которой идёт речь, я бы задавал вероятностное распределение так: сначала выбираем точку на сфере "случайно", то есть "равномерно". Такая конструкция ведёт к тому, что вероятность попадания точки в "кляксу" равна доли площади этой фигуры от общей площади сферы. Такая конструкция как бы "уже есть": её можно не уточнять, ибо сама формулировка задачи предполагает её имеющейся в наличии.

Выбор точки соответствует тому, куда будет отображаться луч, соединяющий центр куба (который у нас "лежит в стороне"), с центром выделенной грани этого куба. Пока ещё это не задаёт способ вписывания куба, так как куб можно вращать относительно выбранной оси. Далее мы должны будем "случайно" (то есть опять "равномерно") выбрать точку на окружности. А именно, на пересечении сферы с плоскостью "выделенной" грани. В неё мы поместим ту вершину куба, которая у нас предварительно была отмечена на этой грани.

Здесь фактически описано топологическое пространство вписанных в сферу кубов, и на нём задана мера. Пространство это гомеоморфно прямому произведению S²xS¹. Сама по себе конструкция задания меры достаточно простая.

Далее можно просто сослаться на "равномерность" распределений: здесь вполне очевидно, что вероятности не меняются "по модулю" какого угодно перемещения сферы. Что следует из соответствующего факта об исходном распределении и из свойств площадей.

From:

bravchick.livejournal.com

Мне такое рассуждение кажется слишком неформальным. Непонятно, почему все вершины куба равномерно распределены по сфере. Тем более, что, если попытаться формализовать рассуждение с S^2xS^1, то придется говорить о фактормере, а это трудно сделать на школьном языке.

From: