Задачка по математике

[bravchick]

А вот еще замечательная задачка по математике. Скорее всего хорошо известная. Но я почему-то ее в свое олимпиадное детство пропустил:  на листе бумаги поставили кляксу сложной формы, площадь которой меньше 1 кв. см.  Доказать, что можно нарисовать на бумаге сетку из квадратов размером 1х1 см. так, что ни одна вершина сетки не попадет на кляксу. 

Comments

[russhatter.livejournal.com]

Мне кажет, полезно было бы оговорить, что решётку можно только двигать. А то ведь если решетку можно еще и поворачивать, клякса может быть ещё больше; по крайней мере, мне так кажется.

[rus4.livejournal.com]

Это кстати интересный вопрос, можно ли увеличить площадь кляксы. Измеримых множеств, образ которых при любом движении содержит ровно одну точку решетки, не существует (такое множество обязательно имело бы меру 1), а неизмеримые существуют (то и другое не очевидно). Но отсюда не следует, что не существует множеств меры сколь угодно близкой к 1, для которых образ при любом движении содержит хотя бы одну целую точку.

[russhatter.livejournal.com]

Возможно, я неправильно понял, но если не разрешать повороты, то оба контрпримера по обобщениям тривиальны:
- клякса в форме единичного квадрата пересекается с любой решёткой с теми же направляющими.
- фиксируем решётку, рисуем кляксу в виде маленьких кружочков вокруг вершин решётки; таким образом мы можем сделать какую угодно большую по площади кляксу: дорисовывание кружочка над очередной вершиной ничего не меняет, они все при проекции на фактор-тор проецируются в один и тот же маленький кружочек, а из любой другой точки фактор-тора делается по решётке.

[rus4.livejournal.com]

Движения - это в том числе и повороты. Существует ли множество площади 1.0000001, которое при любом повороте содержит целую точку?

[russhatter.livejournal.com]

О! Понял свой прокол: при любом повороте! Я-то думал над вариантом "существует поворот", он легко решается, ответ положительный, но формулировка неестественная: "существует" поворот, но "для любого сдвига". Да, так задача выглядит потяжелее

[bravchick.livejournal.com]

Сомневаюсь, что можно увеличить площадь. Хотя вопрос интересный